2021高考備考：高中數(shù)學誘導公式全集

常用的誘導公式有以下幾組：

公式一：
設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）

公式二：
設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)
注意：在做題時，將a看成銳角來做會比較好做。

誘導公式記憶口訣

※規(guī)律總結(jié)※

上面這些誘導公式可以概括為：

對于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函數(shù)值，

①當k是偶數(shù)時，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；

②當k是奇數(shù)時，得到α相應的余函數(shù)值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.

（奇變偶不變）

然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

（符號看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4為偶數(shù)，所以取sinα。

當α是銳角時，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號為“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的記憶口訣是：

奇變偶不變，符號看象限。

公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

水平誘導名不變；符號看象限。

＃

各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)”．

這十二字口訣的意思就是說：

第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“＋”；

第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”，弦函數(shù)是“－”；

第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

上述記憶口訣，一全正，二正弦，三內(nèi)切，四余弦

＃

還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負：

函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

正弦 ...........＋............＋............—............—........

余弦 ...........＋............—............—............＋........

正切 ...........＋............—............＋............—........

余切 ...........＋............—............＋............—........

同角三角函數(shù)基本關(guān)系

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1

商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方關(guān)系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）

構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

（1）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；

（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

兩角和差公式

兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）

sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

萬能公式推導

附推導：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

三倍角公式推導

附推導：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式聯(lián)想記憶

★記憶方法：諧音、聯(lián)想

正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）

☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

★另外的記憶方法：

正弦三倍角： 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是"3倍"sinα， 無指的是減號， 四指的是"4倍"， 立指的是sinα立方

余弦三倍角： 司令無山 與上同理

和差化積公式

三角函數(shù)的和差化積公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

積化和差公式

三角函數(shù)的積化和差公式

sinα·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosα·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

cosα·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

sinα·sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]

和差化積公式推導

附推導：

首先，我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式。

我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)